Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a為常數），
（1）當a=4時，
①判斷函數在[2，+∞）上單調性并證明你的結論
②求出函數在[3，+∞）上的最小值
（2）求函數在[1，+∞）上的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：本題（1）先由條件a=4化簡函數解析式，再求出函數的導函數，根據函數值的正負，判斷出函數的單調性，并利用函數單調性求出函數在[3，+∞）上的最小值；（2）先求出函數的導函數，再分類討論，確定導函數值的正負，從而得到函數的值域，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x+

a

x

（a為常數），
∴當a=4時，f（x）=x+

4

x

，
①∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
∴當x≥2時，f′（x）≥0，
∴函數在[2，+∞）上單調遞增；
②由①知：函數f（x）在[3，+∞）上單調遞增，
∴f（x）≥f（3）=3+

4

3

=

16

3

．
∴函數f（x）在[3，+∞）上的最小值為：

16

3

．
（2）∵函數f（x）=x+

a

x

（a為常數），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

（x≠0），
∴當a≤0時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（-∞，0）上單調遞增；在（0，+∞）上單調遞增，
∴函數在[1，+∞）上單調遞增，
∴f（x）≥f（1）=1+a．
∴函數f（x）在[1，+∞）上的值域為[1+a，+∞）．
當a＞0時，x∈(0，

a

)，f′（x）＜0；x∈(

a

，+∞)，f′（x）＞0，
①當a＞1時，[f（x）] min=f(

a

)=2

a

，
函數f（x）在[1，+∞）上的值域為[2

a

，+∞）．
②當0＜a≤1時，[f（x）]_min=f（1）=1+a．
函數f（x）在[1，+∞）上的值域為[1+a，+∞）．
綜上，當a≤1時，函數f（x）在[1，+∞）上的值域為[1+a，+∞）；
      當a＞1時，函數f（x）在[1，+∞）上的值域為[2

a

，+∞）．

點評：本題考查了導函數與函數的單調性、最值，還考查了分類討論的數學思想，本題難度適中，屬于中檔題．