Question

對任意的x＞0，函數y=

2x

x2+3x+1

的最大值是

2

5

．

Answer 1

分析：根據題意，原函數的解析式可變形為y=

2

x+ 1 x +3

，令t=x+

1

x

+3，（x＞0），則y=

2

t

，對于t=x+

1

x

+3，（x＞0），由基本不等式分析可得其最小值，進而由反比例函數的性質分析可得y=

2

t

的最大值，即可得答案．

解答：解：y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+ 1 x +3

，
令t=x+

1

x

+3，（x＞0），則y=

2

t

，
則t≥2

x• 1 x

+3=5，即t有最小值5，
對于y=

2

t

，
由t≥5，可得y≤

2

5

，即y的最大值為

2

5

，
故答案為

2

5

．

點評：本題考查基本不等式的運用，在解題中，可以用配湊法使其滿足基本不等式成立的條件．