Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x），滿足：對任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立且f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，則不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為

{x|3＜x≤4}

．

Answer 1

分析：根據對任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上單調遞增，根據恒等式，將不等式變形為f（x²-3x）≤2，再將2代換成f（4），根據函數的單調性，去掉“f”，列出關于x的不等關系，求解即可得到解集．

解答：解：∵對任意的x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增函數，
∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
根據恒等式f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x）+f（x-3）≤2可變形為f（x²-3x）≤2，
又f（4）=2，
∴f（x²-3x）≤f（4），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上單調遞增函數，
∴

x＞0 x-3＞0 x2-3x≤4

，解得3＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．
故答案為：{x|3＜x≤4}．

點評：本題考查了函數的單調性，以及利用函數的單調新求解不等式，對不等式的恒等變形時要注意函數的定義域的限制．利用所給恒等式的求值，關鍵是進行合適的賦值．同時還考查了函數的導數的正負對應著函數的單調性，屬于中檔題．