Question

正三角形ABC的邊長為2

3

，將它沿高AD翻折，使二面角B-AD-C的大小為

π

3

，則四面體ABCD的外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間角,球

分析：三棱錐B-ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的體積即可．

解答： 解：根據題意可知三棱錐B-ACD的三條側棱BD⊥AD、DC⊥DA，
則∠BDC即為二面角B-AD-C的平面角，且為

π

3

，
則底面BCD是正三角形，
它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，
求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，
而且AD=

3

2

×2

3

=3，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為

3

，
由題意可得：三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，
球心到底面的距離為

3

2

，
底面中心到底面三角形的頂點的距離為：

2

3

×

3

2

×

3

=1，
∴球的半徑為r=

( 3 2 )2+1

=

13

2

．
四面體ABCD外接球體積為：

4πr3

3

=

4π

3

×（

13

2

）³=

13 13 π

6

．
故答案為：

13 13 π

6

．

點評：本題考查空間想象能力，計算能力；三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數學題目的前提．