Question

如圖，在直三棱柱中，已知，，，點，分別在棱，上，且，，．

（1）當時，求異面直線與所成角的大��；

（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求的值．

Answer 1

（1）．（2）

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求異面直線所成角：先建立空間直角坐標系，設立點的坐標，將異面直線用坐標表示，再利用向量數量積求角：，．所以異面直線與所成角為．（2）已知線面角求點的位置，解題思路仍是利用空間向量，先求出平面法向量,再利用直線與法向量的夾角與線面角互為余角，進行列等量關系：設平面的法向量為，則，且．即，且．令，則．

所以是平面的一個法向量．，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得．

試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標系．

（1）因為AB=AC=1，3，，

所以各點的坐標為,，，．

，． 2分

因為,，

所以．所以向量和所成的角為，

所以異面直線與所成角為． 4分

（2）因為，，所以．

設平面的法向量為，

則，且．

即，且．令，則．

所以是平面的一個法向量． 6分

又，則，

又因為直線與平面所成角的正弦值為，

所以，解得，． 10分

考點：利用空間向量求線線角、線面角