Question

【題目】原始的蚊香出現在宋代.根據宋代冒蘇軾之名編寫的《格物粗談》記載：“端午時，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲.”如圖，為某校數學興趣小組用數學軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下:在水平直線上取長度為1的線段，做一個等邊三角形，然后以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，再以點為圓心，為半徑逆時針畫圓弧，交線段的延長線于點，以此類推，當得到的“螺旋蚊香”與直線恰有個交點時，“螺旋蚊香”的總長度的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據畫圓弧的規律：分別以B，C，A為圓心，抽象半徑長度的數列，明確圓弧與直線的交點情況，再根據當“螺旋蚊香”與直線恰有個交點時，若使“螺旋蚊香”的總長度最小，確定數列的項數，求得最后圓弧的半徑即可.

如圖所示：

當以B為圓心，半徑為：1，4，7，10，…除起點外，與直線無交點，①

當以C為圓心，半徑為：2，5，8，11，…與直線有一個點，②

當以A為圓心，半徑為：3，6，9，12，…除終點（即①的起點，點A除外）外，與直線無交點，③

所以當“螺旋蚊香”與直線恰有個交點時，若使“螺旋蚊香”的總長度最小，

則完成整數個循環，

所以以B為圓心的弧與直線只有交點A，以C為圓心的弧與直線10個交點，以A為圓心的弧與直線有10個交點，

即數列②有10項，數列③有10項，

所以最后一個圓弧的半徑為，

所以“螺旋蚊香”的總長度的最小值為.

故選：A