Question

14．設橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的長軸長為6，離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓E標準方程；
（Ⅱ）如圖，若分別過橢圓E的左右焦點F₁，F₂的動直線l₁，l₂相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄滿足k₁+k₂=k₃+k₄．是否存在定點M、N，使得|PM|+|PN|為定值．存在，求出M、N點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論，設直線l₁，l₂的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式分別求得k₁、k₂、k₃、k₄，由k₁+k₂=k₃+k₄．即可求得直線的l₁，l₂斜率的乘積m₁m₂=-$\frac{1}{2}$，根據斜率公式P點坐標，求得出M、N點坐標；

解答 解：（Ⅰ）由2a=6，則a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則c=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=3，
∴橢圓標準方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$
（Ⅱ）${F_1}（{-\sqrt{6}，0}）$，${F_2}（{\sqrt{6}，0}）$，當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為$（{-\sqrt{6}，0}）$或$（{\sqrt{6}，0}）$
當直線l₁、l₂斜率存在時，設斜率分別為m₁，m₂．
∴l₁的方程為$y={m_1}（{x+\sqrt{6}}）$，l₂的方程為$y={m_2}（{x-\sqrt{6}}）$．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯立$\left\{\begin{array}{l}y={m_1}（{x+\sqrt{6}}）\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得到$（{1+3m_1^2}）{x^2}+6\sqrt{6}$$m_1^2x+18m_1^2-9=0$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{-6\sqrt{6}m_1^2}}{1+3m_1^2}$，${x_1}{x_2}=\frac{18m_1^2-9}{1+3m_1^2}$，
同理${x_3}+{x_4}=\frac{{6\sqrt{6}m_2^2}}{1+3m_2^2}$，${x_3}{x_4}=\frac{18m_2^2-9}{1+3m_2^2}$．
∵${k_1}=\frac{y_1}{x_1}=\frac{{{m_1}（{{x_1}+\sqrt{6}}）}}{x_1}$=${m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}}}{x_1}$，${k_2}=\frac{y_2}{x_2}={m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}}}{x_2}$，${k_3}=\frac{y_3}{x_3}={m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}}}{x_3}$，${k_4}=\frac{y_4}{x_4}={m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}}}{x_4}$
又滿足k₁+k₂=k₃+k₄．$2{m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}（{{x_1}+{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$2{m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}（{{x_3}+{x_4}}）}}{{{x_3}{x_4}}}⇒$$2{m_1}+\frac{{\sqrt{6}{m_1}（{-6\sqrt{6}m_1^2}）}}{18m_1^2-9}$，
=$2{m_2}-\frac{{\sqrt{6}{m_2}•6\sqrt{6}m_2^2}}{18m_2^2-9}$$⇒{m_1}{m_2}=-\frac{1}{2}$，
設點P（x，y），則$\frac{y}{{x+\sqrt{6}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{6}}}=-\frac{1}{2}$$⇒\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$，（$x≠±\sqrt{6}$），
由當直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標為$（{-\sqrt{6}，0}）$或$（{\sqrt{6}，0}）$也滿足，
∴點P在橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上，則存在點M、N其坐標分別為$（{-\sqrt{3}，0}）$、$（{\sqrt{3}，0}）$，使得$|{PM}|+|{PN}|=2\sqrt{6}$為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于難題．