Question

2．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數，直線y=$\sqrt{2}$與函數f（x）的圖象的兩個相鄰交點的距離為$\frac{π}{2}$，則（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調遞減
• B． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上單調遞減
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調遞增
• D． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上單調遞增

Answer 1

分析 利用輔助角化簡函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）是奇函數，可得φ$+\frac{π}{4}$=kπ，解出φ，直線y=$\sqrt{2}$與函數f（x）的圖象的兩個相鄰交點的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期T=$\frac{π}{2}$，求出ω，可得f（x）的解析式，從而判斷各選項即可．

解答 解：化簡函數f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）
∵f（x）是奇函數，
∴φ$+\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z．即φ=k$π-\frac{π}{4}$．
∵0＜φ＜π
∴φ=$\frac{3π}{4}$．
又∵直線y=$\sqrt{2}$與函數f（x）的圖象的兩個相鄰交點的距離為$\frac{π}{2}$，
可得周期T=$\frac{π}{2}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{3π}{4}$），
令2kπ$-\frac{π}{2}≤$4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ，單調遞增．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{5π}{16}≤x≤-\frac{π}{16}$+$\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴C選項對．D選項不對．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$+2kπ，單調遞減．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{π}{16}≤x≤\frac{3π}{16}$$+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴A，B選項不對．
故選C．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．