Question

已知數列{a_n}滿足S _n + a _n= 2n +1．
(1)寫出a₁，a₂，a₃， 并推測a _n的表達式；
(2)用數學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

(1) a₁=， a₂=，a₃= a_n=  (2)用數學歸納法證明

試題分析：(1)由S_n+a_n=2n+1得a₁=， a₂=，a₃=     3分
∴a_n=     6分
(2)證明：當n=1時，命題成立     7分
假設n=k時命題成立，即a_k=      8分
當n=k+1時，a₁+ a ₂+…+ a_k + a_k+1+ a_k+1=2(k+1)+1      9分
∵a₁+ a ₂+…+ a_k =2k+1-a _k
∴2a_k+1=4-      11分
∴a_k+1=2-成立     12分
根據上述知對于任何自然數n，結論成立     13分
點評：運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題