Question

已知正項數列的前項和為，且 .
（1）求的值及數列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) ,
(2)根據題意，由于，∴.放縮法來得到證明。
(3)，由是非零整數，知存在滿足條件．

試題分析：(1）由.
當時，，解得或（舍去）．  2分
當時，
由，
∵，∴，則，
∴是首項為2，公差為2的等差數列，故．  4分
另法：易得，猜想，再用數學歸納法證明(略)．
（2）證法一：∵
， 4分
∴當時，

.… 7分
當時，不等式左邊顯然成立.         8分
證法二：∵，∴.
∴. 4分
∴當時，
. 7分
當時，不等式左邊顯然成立.  ……8分
（3）由，得，
設，則不等式等價于.
，……9分
∵，∴，數列單調遞增.          
假設存在這樣的實數，使得不等式對一切都成立，則
① 當為奇數時，得； ……11分
② 當為偶數時，得，即.  12分
綜上，，由是非零整數，知存在滿足條件．  12分
點評：解決的關鍵是利用數列的單調性來證明不等式，以及分離參數的思想來求解參數的取值范圍。