Question

某人射擊5次，每次中靶的概率均為0.9，求他至少兩次中靶的概率.

Answer 1

思路分析： 至少有兩次中靶包括恰好有2次中靶，恰好有3次中靶，恰好有4次中靶和恰好有5次中靶四種情況.而這些事件是彼此互斥的，而他每次射擊中靶的概率均相等，并且相互之間沒有影響，所以每次射擊又是相互獨立事件，因而他射擊5次是進行5次獨立重復試驗.

解：解法一：在5次射擊中恰好有2次中靶的概率為×0.9²×0.1³；

在5次射擊中恰好有3次中靶的概率為×0.9³×0.1²；

在5次射擊中恰好有4次中靶的概率為×0.9⁴×0.1；

在5次射擊中5次均中靶的概率為×0.9⁵.

至少有2次中靶的概率為×0.9²×0.1³＋×0.9³×0.1²+×0.9⁴×0.1＋×0.9⁵=0.008 1＋0.072 9＋0.328 05＋0.590 49=0.999 54.

解法二：至少有2次中靶的對立事件是至多有1次中靶，它包括恰好有1次中靶與全沒有中靶兩種情況，顯然這是兩個互斥事件.

在5次射擊中恰好有1次中靶的概率為×0.9×0.1⁴；

在5次射擊中全沒有中靶的概率為0.1⁵.

所以至少有2次中靶的概率為1-×0.9×0.1⁴-0.1⁵=1-0.000 45-0.000 01=0.999 54.

    誤區警示 如果我們對獨立重復試驗的意義理解不深刻，很容易得出其概率為×0.9²×0.1³=0.008 1的錯誤結果.究其原因是“至少有2次中靶”這一事件并不是指“有2次中靶，而其余三次不中靶”，因而不能直接運用公式p^k(1-p)^n-k.該公式僅適用于求某ｎ次獨立重復試驗中，事件A發生了ｋ次，而其余的ｎ-ｋ次事件A不發生的概率，且P（A）=ｐ.