Question

已知tanα=

2

-1函數f（x）=x2tan2α+xsin(2α+

π

4

)其中α∈(0，

π

2

)
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數列{a_n}滿足a1=

1

2

， a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求證：
（i）a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
（ii）1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2 2 -2

1-( 2 -1)2

=1，將tanα=

2

-1代入可求解，由α為銳角，得α，進而求得函數表達式．
（2）（i）由數列{a_n}滿足a1=

1

2

， a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），知an+1=an2+an，由此能夠證明a_n+1＞a_n（n∈N^*）．
（ii）由數列{a_n}滿足a1=

1

2

， ，an+1=an2+an=a_n（a_n+1），能夠導出

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，利用裂項求和法得到

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=2-

1

an+1

，由此能夠證明1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）

解答：解：（1）解：∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2 2 -2

1-( 2 -1)2

=1
又∵α∈(0，

π

2

)，
∴α=

π

8

，∴sin（2α+

π

4

）=1，
∴f（x）=x²+x．
（2）（i）∵數列{a_n}滿足a1=

1

2

， a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
∴an+1=an2+an，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n（n∈N^*）．
（ii）∵數列{a_n}滿足a1=

1

2

， ，an+1=an2+an=a_n（a_n+1），
∴

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

，
∴1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2（n≥2，n∈N^*）．

點評：本題考查函數解析式的求法和不等式的證明，具體涉及到正切函數的倍角公式、數列與函數、數列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．