【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】（1）增區(qū)間為
，減區(qū)間為
，極大值為
，無極小值，（2）當(dāng)
時，函數(shù)
沒有零點；當(dāng)
或
時.函數(shù)有1個零點；當(dāng)
時，函數(shù)有2個零點.
【解析】
（1）求導(dǎo)，求出
的解，即可求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極值；
（2）求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，確定極值，根據(jù)極值的正負(fù)以及零點存在性定理，對
分類討論，即可求解.
由題得，函數(shù)的定義域為
.
（1）當(dāng)
時，
，
所以
，
當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，
，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
所以當(dāng)
時，有極大值，
且極大值為
，無極小值.
（2）由
，得
.
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
，
又
，所以函數(shù)有且只有一個零點；
當(dāng)
時，令
，
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以的極大值為
，
①當(dāng)
，即得
時，
解得，此時函數(shù)沒有零點；
②當(dāng)
，即時，函數(shù)有1個零點；
③當(dāng)
，即時，
.
當(dāng)
時，令
，
則
在
上恒成立，
所以
，即
，
所以
，
故當(dāng)且
時，
.
當(dāng)時，有
，
所以函數(shù)有2個零點.
綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)沒有零點；
當(dāng)或時.函數(shù)有1個零點；
當(dāng)時，函數(shù)有2個零點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且
.
（1）求B；
（2）若b＝2，且sinA，sinB，sinC成等差數(shù)列，求△ABC的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】作家馬伯庸小說《長安十二時辰》中，靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中，望樓傳遞信息的方式有一種如下：如圖所示，在九宮格中，每個小方格可以在白色和紫色（此處以陰影代表紫色）之間變換，從而一共可以有512種不同的顏色組合，即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行，每一列上至多有一個紫色小方格（如圖所示即滿足要求）.則一共可以傳遞______種信息.（用數(shù)字作答）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費為每件40元，若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)，則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．
（1）把每件產(chǎn)品的成本費P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費；
（2）如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件，且產(chǎn)品能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查：每件產(chǎn)品的銷售價Q（x）與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：
，試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？（總利潤=總銷售額-總的成本）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，
為
的中點.
（I）若
為
上的一點，且
與直線
垂直，求
的值；
（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面
成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.
|
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|
|
|
|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根據(jù)散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒開一壺水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比，那么為多少時燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在中國，“女排精神”概括的是頑強戰(zhàn)斗、勇敢拼搏精神.在某年度排球超級杯決賽中，中國女排與俄羅斯女排相遇，已知前四局中，戰(zhàn)成了
，且在決勝局中，中國隊與俄羅斯隊?wèi)?zhàn)成了
，根據(jù)中國隊與俄羅斯隊以往的較量，每個球中國隊獲勝的概率為
，假定每個球中國隊是否獲勝相互獨立，則再打不超過4球，中國隊獲得比賽勝利的概率為（ ）
（注：排球的比賽規(guī)則為5局3勝制，即比賽雙方中的一方先拿到3局勝利為獲勝隊，其中前四局為25分制，即在一方先得到25分，且與對方的分差大于或等于2分，則先拿到25分的一方勝；若一方拿到25分后，但雙方分差小于2分，則比賽繼續(xù)，直到一方領(lǐng)先2分為止；若前四局打成，則決勝局采用15分制.）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），設(shè)原點
在圓的內(nèi)部，直線與圓交于
、
兩點；以坐標(biāo)原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）求直線和圓的極坐標(biāo)方程，并求
的取值范圍；
（2）求證：
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（0＜b＜2）的離心率為
，F為橢圓的右焦點，PQ為過中心O的弦．
（1）求
面積的最大值；
（2）動直線
與橢圓交于A，B兩點，證明：在第一象限內(nèi)存在定點M，使得當(dāng)直線AM與直線BM的斜率均存在時，其斜率之和是與t無關(guān)的常數(shù)，并求出所有滿足條件的定點M的坐標(biāo)．
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