Question

9．如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長(zhǎng)度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．
（1）若圍墻AP，AQ總長(zhǎng)度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？
（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，AP段圍墻造價(jià)為每平方米150元，AQ段圍墻造價(jià)為每平方米100元．若圍圍墻用了30000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？

Answer 1

分析 （1）AP+AQ=200，可得S=$\frac{1}{2}•AP•AQ•sin12{0}^{°}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$$（\frac{AP+AQ}{2}）^{2}$．
（2）設(shè)AP=x，AQ=y，可得1•x•150+1.5•y•100=30000，化為：x+y=200≥2$\sqrt{xy}$，可得xy≤10000．
可得PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=40000-xy，即可得出PQ的最小值．

解答 解：（1）∵AP+AQ=200，
∴S=$\frac{1}{2}•AP•AQ•sin12{0}^{°}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$$（\frac{AP+AQ}{2}）^{2}$=2500$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)取“=”．
∴當(dāng)x=y=100時(shí)，可使得三角形地塊APQ的面積最大．
（2）設(shè)AP=x，AQ=y，則1•x•150+1.5•y•100=30000，
化為：x+y=200≥2$\sqrt{xy}$，可得xy≤10000．
∴PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=40000-xy≥30000．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)取“=”．
即PQ≥100$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)，可使PQ取得最小值，即使用竹籬笆用料最省．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了重要不等式與基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．