Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），則f₁（）+f₂（）+…+f₂₀₀₉（）=    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），觀察所求的結果，歸納其中的周期性規律，求解即可．
解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（）+f₂（）++f₂₀₀₉（）=f₁（）=1．
故答案為：1
點評：本題考查三角函數的導數、周期性、及觀察歸納思想的運用．