Question

已知函數 的定義域是 ， 是 的導函數，且 在上恒成立

（Ⅰ）求函數 的單調區間。

（Ⅱ）若函數 ，求實數a的取值范圍

（Ⅲ）設 是 的零點 ， ，求證： ．

 

Answer 1

（Ⅰ）的單增區間是，無單減區間；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數的運算法則求出的導數，根據已知條件判斷出在定義上正負，從而求出的單調區間；（Ⅱ）求出的導數，將與代入，將條件具體化，根據在上恒成立，通過參變分離化為在上恒成立，利用導數求出最大值M，從而得出實數a的取值范圍a＞M；

（Ⅲ）由是 的零點知，是 的零點，由（Ⅰ）知 在（0，+）是單調增函數，得出當時，，即，即＜0，在利用的單調性得出，利用不等式性質得出與的關系，即可得出所證不等式．

試題解析：（Ⅰ）

因為在上恒成立

所以在上恒成立

所以的單增區間是，無單減區間 （3分）

（Ⅱ）

因為在上恒成立

所以在上恒成立

即在上恒成立 （4分）

設 則

令得

當時，；當時，

故函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，所以． （8分）

（Ⅲ）因為是的零點，所以

由（Ⅰ）知，在上單調遞增，

所以當時，，即

所以當時，

因為，所以，且

即

所以

所以 （12分）

考點：常見函數的導數，導數的運算法則，函數單調性與導數間關系，導數的綜合運用，推理論證能力