Question

19．已知函數f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-3有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂）
（Ⅰ）求證：0＜a＜e²
（Ⅱ）求證：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉化為證明f（x₂）＞f（2a-x₁），設函數g（x）=f（x）-f（2a-x），根據函數的單調性證明即可．

解答 證明：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，f′（x）≥0，
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
不可能有2個零點；
②a＞0時，在區間（0，a）上，f′（x）＜0，在區間（a，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在區間（0，a）遞減，在區間（a，+∞）遞增；
f（x）的最小值是f（a）=lna-2，
由題意得：有f（a）＜0，則0＜a＜e²；
（Ⅱ）要證x₁+x₂＞2a，只要證x₂＞2a-x₁，
易知x₂＞a，2a-x₁＞a，
而f（x）在區間（a，+∞）遞增，
∴只要證明f（x₂）＞f（2a-x₁），
即證f（x₂）＞f（2a-x₁），
設函數g（x）=f（x）-f（2a-x），
則g（a）=0，且區間（0，a）上，
g′（x）=f′（x）+f′（2a-x）=$\frac{-4{a（a-x）}^{2}}{{{x}^{2}（2a-x）}^{2}}$＜0，
即g（x）在（0，a）遞減，
∴g（x₁）＞g（a）=0，
而g（x₁）=f（x₁）-f（2a-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（2a-x₁）成立，
∴x₁+x₂＞2a．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．