Question

若函數y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）內為增函數，則a的取值范圍是

5≤a≤7

．

Answer 1

分析：求出函數的導函數，利用函數y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）內為增函數得到導函數在不同區間內的符號，列式后解不等式組求解a的范圍．

解答：解：由y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，得y^′=x²-ax+a-1．
因為函數y=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）內為增函數，
所以y^′=x²-ax+a-1在區間（1，4）內恒小于0，在區間（6，+∞）內恒大于0，
令g（x）=x²-ax+a-1．
則

g(1)=1-a+a-1≤0 g(4)=16-4a+a-1≤0 g(6)≥=36-6a+a-1≥0

，解得5≤a≤7．
故答案為5≤a≤7．

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，考查了利用二次函數零點所在的范圍求參數的值，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．