已知橢圓

的離心率為

,橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2,若橢圓C與x軸交于A、B兩點,M是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線MA交直線

于G點,直線MB交直線

于H點。
(1)求橢圓C的方程;
(2)試探求以GH為直徑的圓是否恒經(jīng)過x軸上的定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由。
(Ⅰ)由題意得



.
橢圓

的方程為:

(Ⅱ)記直線

、

的斜率分別為

、

,設(shè)

的坐標(biāo)分別為

,

,

,



.

在橢圓上,所以

,



,
設(shè)


,則

,

.

,又



.

.
因為

的中點為

,

,所以,以

為直徑的圓的方程為:

.
令

,得

,

,將兩點

代入檢驗恒成立.
所以,以

為直徑的圓恒過

軸上的定點

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C:

=1(a>b>0)的離心率為

,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+

=0相切。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交隨圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于定點Q;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
直線l:

與橢圓

相交A,B兩點,點C是橢圓上的動點,則

面積的最大值為
。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓


的離心率為

,一個焦點為

.
(Ⅰ)求橢圓

的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線

交橢圓

于

,

兩點,若點

,

都在以點

為圓心的圓上,求

的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知焦點在

軸上橢圓的長軸的端點分別為

,

為橢圓的中心,

為右焦點,且

,離心率

。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)記橢圓的上頂點為

,直線

交橢圓于

兩點,問:是否存在直線

,使點

恰好為

的垂心?若存在,求出直線

的方程,若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖橢圓

的右頂點是

,上下兩個頂點分別為

,四邊形

是矩形(

為原點),點

分別為線段

的中點.
(Ⅰ)證明:直線

與直線

的交點在橢圓

上;
(Ⅱ)若過點

的直線交橢圓于

兩點,

為

關(guān)于

軸的對稱點(

不共線),問:直線

是否經(jīng)過

軸上一定點,如果是,求這個定點的坐標(biāo),如果不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓中心

在坐標(biāo)原點,焦點在

軸上,且經(jīng)過

、

、

三點.
(1)求橢圓

的方程;
(2)設(shè)直線

與橢圓

交于

、

兩點.
①若

,求

的長;
②證明:直線

與直線

的交點在直線

上.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)點

是橢圓

上一點,

分別是橢圓的左、右焦點,

為

的內(nèi)心,若

,則該橢圓的離心率是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知橢圓

的左、右焦點分別為

,若橢圓上存在點

(異于長軸的端點),使得

,則該橢圓離心率的取值范圍是
.
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