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已知橢圓的離心率為,橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2,若橢圓C與x軸交于A、B兩點,M是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線MA交直線于G點,直線MB交直線于H點。
(1)求橢圓C的方程;
(2)試探求以GH為直徑的圓是否恒經(jīng)過x軸上的定點?若經(jīng)過,求出定點的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由。
(Ⅰ)由題意得
.
橢圓的方程為:
(Ⅱ)記直線、的斜率分別為,設(shè)的坐標(biāo)分別為,,,.
在橢圓上,所以,
設(shè),則.
,又.
.
因為的中點為,所以,以為直徑的圓的方程為:.
,得,
,將兩點代入檢驗恒成立.
所以,以為直徑的圓恒過軸上的定點
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交隨圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于定點Q;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

直線l:與橢圓相交A,B兩點,點C是橢圓上的動點,則面積的最大值為              。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,一個焦點為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓兩點,若點都在以點為圓心的圓上,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知焦點在軸上橢圓的長軸的端點分別為為橢圓的中心,為右焦點,且,離心率
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)記橢圓的上頂點為,直線交橢圓于兩點,問:是否存在直線,使點恰好為的垂心?若存在,求出直線的方程,若不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖橢圓的右頂點是,上下兩個頂點分別為,四邊形是矩形(為原點),點分別為線段的中點.
(Ⅰ)證明:直線與直線的交點在橢圓上;
(Ⅱ)若過點的直線交橢圓于兩點,關(guān)于軸的對稱點(不共線),問:直線是否經(jīng)過軸上一定點,如果是,求這個定點的坐標(biāo),如果不是,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點,焦點在軸上,且經(jīng)過、三點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于、兩點.
①若,求的長;
②證明:直線與直線的交點在直線上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)點是橢圓上一點,分別是橢圓的左、右焦點,的內(nèi)心,若,則該橢圓的離心率是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓的左、右焦點分別為,若橢圓上存在點(異于長軸的端點),使得,則該橢圓離心率的取值范圍是    

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同步練習(xí)冊答案
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