Question

18．設P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（a＞b＞0）上任一點，F₁，F₂為橢圓的焦點，|PF₁|+|PF₂|=4，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$． 
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點E的軌跡為曲線C₁，直線l：y=x+m交C₁于M，N兩點，線段MN的垂直平分線經過點P（1，0），求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知：2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標準方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，m²＜5，由中點坐標公式可知：x₁+x₂=2x₀=1-m，代入即可取得m的值．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：丨PF₁|+|PF₂|=2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）聯立直線方程與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+8mx+4m²-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0，解得：m²＜5，
又∵線段MN的垂直平分線經過點P（1，0）
∴線段MN的垂直平分線方程y=-x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，解得：2x₀=1-m，
由x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁+x₂=2x₀，
∴1-m=-$\frac{8m}{5}$，解得：m=-$\frac{5}{3}$，
∴實數m的值-$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查中點坐標公式的應用，屬于中檔題．