Question

已知方程2x²-4x•sinθ+3cosθ=0的兩個根相等，且θ為銳角，求θ和這個方程的兩個根．

Answer 1

分析：由“一元二次方程有兩相等實根則判別式為零”入手，解cosθ的一元二次方程，進而求出θ，然后解原方程即可求出其根．

解答：解：由題意得△=b²-4ac=（-4sinθ）²-4•2•3cosθ=0，
即16sin²θ-24cosθ=0，
∴16（1-cos²θ）-24cosθ=0，
∴2cos²θ+3cosθ-2=0，
解得cosθ=

1

2

或cosθ=-2（舍去）．
又θ為銳角，∴θ=60°．
因此，原方程可化為
2x2-2

3

x+

3

2

=0，
解得相等的二根為

3

2

．

點評：本題考查同角正余弦的關系、正余弦值的范圍，同時考查一元二次方程根的個數與判別式的關系及解一元二次方程的能力．