Question

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，則有 x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

此定理叫韋達(dá)定理，根據(jù)韋達(dá)定理可以求解下題：已知lgm，lgn是方程2x²-4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則
（1）求mn的值；
（2）求log_nm+log_mn的值．

Answer 1

分析：（1）由條件利用韋達(dá)定理可得 lgm+lgn=2，即lg（mn）=2，由此求得 mn的值．
（2）利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)log_nm+log_mn 為

(lgm+lgn)2-2lgm•lgn

lgm•lgn

，再把由韋達(dá)定理求得的結(jié)果代入，
運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵已知lgm，lgn是方程2x²-4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則由韋達(dá)定理可得 lgm+lgn=2，lgm•lgn=

1

2

．
故有 lg（mn）=2，∴mn=100．
（2）由于log_nm+log_mn=

lgm

lgn

+

lgn

lgm

=

(lgm)2+(lgn)2

lgm•lgn

=

(lgm+lgn)2-2lgm•lgn

lgm•lgn

=

22-2× 1 2

1 2

=6，
即所求式子log_nm+log_mn 的值為 6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．