Question

已知函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]⊆D，使得函數f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內是單調函數；②f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區間[a，b]為y=f（x）的“倍值區間”，下列函數中存在“倍值區間”的有

 

．
①f（x）=2x（x∈R）
②f（x）=x²（x≥0）
③f（x）=e^x（x∈R）
④f（x）=lnx（x＞0）

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：根據已知可得若函數f（x）存在“倍值區間”，則函數f（x）=2x，在定義域至少存在兩個不相等的根，逐一判斷四個函數，可得結論．

解答： 解：若函數f（x）存在“倍值區間”，
則函數f（x）=2x，在定義域至少存在兩個不相等的根，
對于①，f（x）=2x（x∈R），顯然滿足條件；
對于②，令f（x）=x²=2x，（x≥0），解得x=0，或x=2，故存在區間[0，2]滿足條件，故函數存在“倍值區間”；
對于③，令f（x）=e^x=2x，（x∈R），方程無解，故函數不存在“倍值區間”；
對于④，令f（x）=lnx=2x，（x＞0），方程無解，故函數不存在“倍值區間”；
故答案為：①②

點評：本題考查的知識點是函數圖象和性質，其中正確理解函數f（x）存在“倍值區間”的含義，是解答的關鍵．