Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=

π

2

，點(diǎn)M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直（如圖乙）．
（1）求證：AB∥平面DNC；
（2）當(dāng)DN的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角D-BC-N的大小為30°？

Answer 1

分析：（1）證明AB所在平面MAB與平面DNC平行，即可證明AB∥平面DNC；
（2）過(guò)N作NH⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，說(shuō)明∠DHN為二面角D-BC-N的平面角，利用二面角D-BC-N的大小為30°，求出DN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：∵M(jìn)B∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC．
同理MA∥平面DNC，又MA∩MB=M，且MA、MB?

平面MAB∥平面NCD AB?平面MAB

?AB∥平面DNC．
（2）過(guò)N作NH⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，


∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC，
∴∠DHN為二面角D-BC-N的平面角．
由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，
CN=4-2cos60°=3，∴NH=3sin60°=

3 3

2

．
由條件知：tan∠NHD=

DN

NH

=

3

3

，
∴DN=NH•

3

3

=

3 3

2

• 

3

3

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，計(jì)算能力，是中檔題．也可以通過(guò)空間直角坐標(biāo)系的方法解答本題．