Question

（2009•湖北模擬）如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=

.

2

點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直（如圖乙）．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）當DN=

3

2

時，求二面角D-BC-N的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明AB所在平面MAB與平面DNC平行，即可證明AB∥平面DNC；
（Ⅱ） 過N作NH⊥BC交BC延長線于H，說明∠DHN為二面角D-BC-N的平面角，可求NH的長，利用DN的長，可求二面角D-BC-N的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，
∴MB∥平面DNC．
同理MA∥平面DNC，又MA∩MB=M，且MA、MB?平面MAB
∴平面MAB∥平面DNC．

平面MAB∥平面NCD AB?平面MAB

⇒AB∥平面DNC．
（Ⅱ） 過N作NH⊥BC交BC延長線于H，

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，從而DH⊥BC，
∴∠DHN為二面角D-BC-N的平面角．
由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，
CN=4-2cos60°=3，∴NH=3sin60°=

3 3

3

．
∵DN=

3

2

∴tan∠NHD=

DN

NH

=

3

3

，
∴∠DHN=30°

點評：本題以平面圖形翻折為載體，考查面面平行的判定與性質，直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，計算能力，是中檔題．