Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓的焦點為焦點，以拋物線的準線為右準線.
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點.
① 當為何值時，使得?
② 是否存在這樣的實數,使A、B兩點關于直線對稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線M的方程為.
（Ⅱ）當時，使得. 
②當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱

（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，
又拋物線的準線為：.   ----------2分
設雙曲線M的方程為，依題意有，
故，又.
∴雙曲線M的方程為. ----------4分
（Ⅱ）設直線與雙曲線M的交點為、兩點
聯立方程組 消去y得 ，-------5分
∵、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，∴
∴，
從而有，.   ----------7分
又，
∴.
① 若，則有 ，即 .
∴當時，使得.   ----------10分
② 若存在實數,使A、B兩點關于直線對稱，則必有，
因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；
當時，由 得
  
∵A、B中點在直線上，
∴，代入上式得
，又， ∴----------13分
將代入并注意到，得.
∴當時，存在實數，使A、B兩點關于直線對稱----------14分