Question

⑴證明：函數(shù) f ( x ) =在區(qū)間( 0，)上是單調遞減的函數(shù)（已知在區(qū)間( 0，)上有sin x < x < tan x）；

⑵證明：當0 < x <時，sin x >x；

⑶證明：當0 < x <時，sin x <?。

Answer 1

證明：⑴設0 < x ₁ < x ₂ <，則f ( x ₁ ) f ( x ₂ ) ==

=[ ( x ₂ sin x ₁ x ₁ sin x ₁ ) + ( x ₁ sin x ₁ x ₁ sin x ₂ ) ]

=[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ( sin x ₂ sin x ₁ ) ]

=[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ∙ 2 sincos]（∵ 0 <<，x ₂ x ₁ > 0，sin x < x）

>[ ( x ₂ x ₁ ) sin x ₁ x ₁ ∙ 2 ∙cos] （∵ cos x在區(qū)間( 0，)上是減函數(shù)）

>[ sin x ₁ x ₁ cos] =( tan x ₁ x ₁ )（∵ x < tan x）> 0，

∴ 函數(shù) f ( x ) =在區(qū)間( 0，)上是減函數(shù)；

⑵由⑴中所證，f ( x ) =在區(qū)間( 0，)上是減函數(shù)，特別有當0 < x <時，f ( x ) > f ()，即>=，∴ 當0 < x <時，sin x >x；

⑶由于f ( x ) =在( 0，)上是減函數(shù)，∴ 當0 < x <時，f ( x ) > f ()，即sin x >x，

令t = x，則x = t（0 < t <），代入上式得sin ( t ) >( t )，即cos t > 1 t，∴ 1 2 sin ²> 1 t，∴ sin ²<∙，即sin<∙（0 < t <），改記= x，有0 < x <，即得sin x <?。