Question

已知函數f（x）=3ax²+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，
（1）證明：a＞0且-2＜

b

a

＜-1；
（2）證明：函數f（x）在（0，1）內有兩個零點．

Answer 1

分析：（1）先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數式中的a，b，c進行表示，再結合等式關系利用不等式的基本性質即可得到a和

a

b

的范圍即可．
（2）由（1）中結論，我們可以判斷函數的對稱軸在區間（0，1）之間，而且能判斷出頂點縱坐標小于0，進而根據零點存在定理得到答案．

解答：證明：（1）∵f（0）＞0，∴c＞0，
又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①
而a+b+c=0即b=-a-c代入①式，
∴3a-2a-2c+c＞0，即a-c＞0，∴a＞c．
∴a＞c＞0．又∵a+b=-c＜0，∴a+b＜0．
∴1+

b

a

＜0，∴

b

a

＜-1．
又c=-a-b，代入①式得，
3a+2b-a-b＞0，∴2a+b＞0，
∴2+

b

a

＞0，∴

b

a

＞-2．故-2＜

b

a

＜-1．
（2）由（1）中-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜

b

-3a

＜

2

3

即函數f（x）=3ax²+2bx+c圖象的對稱軸x=

b

-3a

在區間（0，1）上
又∵f（

b

-3a

）=

12ac-4b2

12a

＜0
故函數f（x）在（0，

b

-3a

），（

b

-3a

，1）內各有一個零點
故函數f（x）在（0，1）內有兩個零點

點評：本題主要考查二次函數的基本性質與不等式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．