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證明：函數f(x)=2x+
9
2x
在(0，
3
2
)上是單調減函數．
分析：求導數可得f′(x)=2-
9
2x2
，由已知x的范圍可得f′(x)=2-
9
2x2
＜0，可判單調性．
解答：解：求導數可得f′(x)=2-
9
2x2
，
當x∈(0，
3
2
)時，2x2∈（0，
9
2
），
故
9
2x2
∈（2，+∞），可得-
9
2x2
∈（-∞，-2），
故f′(x)=2-
9
2x2
∈（-∞，0），
故可得函數f(x)=2x+
9
2x
在(0，
3
2
)上是單調減函數
點評：本題考查函數的單調性的判斷與證明，用導數法是解決問題的關鍵，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

用定義證明：函數f(x)=x+
4x
在x∈[2，+∞）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

證明：函數f(x)=x2-
1x
在區間（0，+∞）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

探究函數f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
x … 0.5 1 1.5 1.7 2 2.1 2.3 3 4 7 …
y … 64.25 17 9.36 8.43 8 8.04 8.31 10.7 17 49.33 …
已知：函數f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在區間（0，2）上遞減，問：
（1）函數f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在區間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數f(x)=x2+
16
x2
(x＞0)在區間（0，2）遞減；
（3）思考：函數f(x)=x2+
16
x2
(x＜0)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

用單調性的定義證明：函數f(x)=
x+2x+1
在（-1，+∞）上是減函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

觀察下列表格，探究函數f(x)=x+
4
x
，x∈(0，+∞)的性質，
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
（1）請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區間（0，2）上遞減；
函數f(x)=x+
4
x
(x＞0)在區間
（2，+∞）
（2，+∞）
上遞增．
當x=
2
2
時，y最小=
4
4
．
（2）證明：函數f(x)=x+
4
x
在區間（0，2）遞減．
（3）函數f(x)=x+
4
x
(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

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