Question

1．設x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為4，則$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$的最小值為4..

Answer 1

分析 由題意作出其平面區域，從而由線性規劃可得a+$\frac{3}{2}$b=1；從而化簡$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$利用“1”的代換；從而利用基本不等式求解即可．

解答 解：由題意作出其平面區域，

由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{3x-y-6=0}\end{array}\right.$解得，x=4，y=6；
又∵a＞0，b＞0；
故當x=4，y=6時目標函數z=ax+by取得最大值，
即4a+6b=4；
即a+$\frac{3}{2}$b=1；
故$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$）（a+$\frac{3}{2}$b）
=1+1+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{2a}{3b}$≥2+2×$\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{2a}{3b}}$=4；
（當且僅當a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$時，等號成立）；
則$\frac{1}{a}+\frac{2}{3b}$的最小值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查了簡單線性規劃，作圖要細致認真，同時考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．