Question

某企業新研制一種LED節能燈管，為了測試其使用壽命，從中隨機抽取50支燈管作為測試樣本，分別在使用了12個月、24個月、36個月時進行3次測試，得到未損壞的燈管支數如下表：

	第1次測試	第2次測試	第3次測試
未損壞的燈管支數	40	10	0

（1）請補充完整如圖所示的頻率分布直方圖；
（2）試估計這種節能燈管的平均使用壽命；
（3）某校一間功能室一次性換上5支這種燈管，在使用了12個月時隨機取其中3支，求取到已損壞燈管的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得到50支燈管的使用壽命分別在[0，12]、（12，24]、（24，36]上的支數，則在不同區間上的頻率可求，直方圖可求；
（2）由每組的中間值乘以支數作和，然后除以50得答案；
（3）求出5支燈管在使用了12個月時未損壞的支數和損壞的支數，利用枚舉法寫出隨機取其中3支的所有情況，查出取到已損壞燈管的情況數，然后利用古典概型及其概率計算公式求解．

解答：解：（1）由題意知這種節能燈管的使用壽命在[0，12]上的有50-40=10支，
在（12，24]上的有40-10=30支，在（24，36]上的有10支，
易知使用壽命在[0，12]上與使用壽命在（24，36]上的頻數相等，
故補充完整的頻率分布直方圖如圖所示；
（2）取每組的中間值計算燈管的平均使用壽命得

6×10+18×30+30×10

50

=18，即這種節能燈管的平均使用壽命為18個月；
（3）由題易知，5支燈管在使用了12個月時未損壞的有5×

40

50

=4支，記作A₁，A₂，A₃，A₄，已損壞的有1支，記作B．
從中隨機取3支的所有可能結果有：（A₁，A₂，A₃），（A₁，A₂，A₄），（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，A₄），
（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，A₄），（A₂，A₃，B），（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共10個．
取到已損壞燈管的事件有：（A₁，A₂，B），（A₁，A₃，B），（A₁，A₄，B），（A₂，A₃，B），
（A₂，A₄，B），（A₃，A₄，B），共6個，
∴取到已損壞燈管的概率P=

6

10

=0.6．

點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了由直方圖求平均數的方法，訓練了利用枚舉法求古典概型的概率，是基礎題．