Question

若單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，|

b

-t

a

|（t∈R）最小值為

3

2

，且（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，則

c

•（

a

+

b

）的最大值為（　　）

• A、

  3 +1

  2

• B、

  3 -1

  2

• C、

  3

• D、3

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，不妨取

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．由于|

b

-t

a

|=

b 2+t2 a 2-2t a • b

=

(t-cosθ)2+sin2θ

．
利用二次函數的單調性可知：當t=cosθ時，|

b

-t

a

|取得最小值為

3

2

，可得sinθ=

3

2

，解得θ=

2π

3

．可得

b

．設

c

=（x，y），由于（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，利用數量積的坐標運算和兩點間的距離公式即可得出．

解答：解：由單位向量

a

，

b

的夾角為鈍角，
不妨取

a

=（1，0），

b

=（cosθ，sinθ）(θ∈(

π

2

，π))．
|

b

-t

a

|=

b 2+t2 a 2-2t a • b

=

t2-2tcosθ+1

=

(t-cosθ)2+sin2θ

．
∵θ∈(

π

2

，π)，∴cosθ∈（-1，0）．
當t=cosθ時，|

b

-t

a

|取得最小值為

3

2

，∴sinθ=

3

2

，
∵θ∈(

π

2

，π)，θ=

2π

3

．
∴

b

=(-

1

2

，

3

2

)，
設

c

=（x，y），
∵（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
∴

c

2-

c

•(

a

+

b

)+

a

•

b

=0．
∴

c

•(

a

+

b

)=

c

2-

1

2

．
另一方面由（

c

-

a

）•（

c

-

b

）=0，
可得(x-1，y)•(x+

1

2

，y-

3

2

)=x2-

1

2

x-

1

2

+y2-

3

2

y=0，
∴(x-

1

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．
而|

c

|≤

( 1 4 )2+( 3 4 )2

+

3

2

=

3 +1

2

，
∴

c

•(

a

+

b

)=

c

2-

1

2

≤(

3 +1

2

)2-

1

2

=

1+ 3

2

．
∴

c

•（

a

+

b

）的最大值為

1+ 3

2

．
故選：A．

點評：本題綜合考查了向量的數量積運算、二次函數的單調性、兩點間的距離公式、不等式的性質等基礎知識與基本技能方法，考查了數形結合和推理能力、計算能力，屬于難題．