Question

【題目】已知函數（且）．

（1）討論函數的單調性；

（2），關于的方程有唯一解，求的值．

Answer 1

【答案】（1）當為奇數時，函數在為增函數，當為偶數時，函數在為減函數，在為增函數

（2）

【解析】

（1）利用導數判斷函數的單調性即可；

（2）利用，將方程化簡，得到函數，將方程問題轉化為函數零點問題，再結合導數研究即可得解.

解：（1）因為函數，

所以，（且），

所以，（且），

當為奇數時，，即函數在為增函數，

當為偶數時，，

所以當時，，當時，，

即函數在為減函數，在為增函數；

（2）當，，

設，

則關于的方程有唯一解等價于函數只有1個零點，

又，

令，

則，即，①

當時，，當時，，

即函數在為減函數，在為增函數，

則，

由題意有，即，②

②①得：，

設，則函數為增函數，且，

即，

故.