Question

17．已知向量$\overrightarrow m=（{sinA，sinB}），\overrightarrow n=（{cosB，cosA}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=sin2C$，且A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且△ABC的面積為$9\sqrt{3}$，求c邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積、兩角和的正弦公式及三角函數(shù)的倍角公式即可得出；
（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，得到a+b=2c，再利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將sinC以及已知面積代入求出ab的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a+b與ab，cosC的值代入即可求出c的值

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinA，sinB}），\overrightarrow n=（{cosB，cosA}），\overrightarrow m•\overrightarrow n=sin2C$，
∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，
∴2sinCcosC=sinC，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由題意得sinA+sinB=2sinC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：a+b=2c，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=9$\sqrt{3}$，即ab=36，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-ab，即3c²=ab=36，所以c=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積公式 的運(yùn)用、正弦定理和余弦定理解三角形；熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算、三角函數(shù)的有關(guān)公式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．