Question

9．已知${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展開式的常數項是540，則由曲線y=x²和y=x^a圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A． $\frac{5}{12}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{13}{12}$

Answer 1

分析 首先由展開式的通項求出a，然后利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計算即可．

解答 解：由${（{x+\frac{1}{ax}}）^6}$展開式的常數項是540，得到${C}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{1}{ax}）^{r}=\frac{1}{{a}^{r}}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
所以r=3時取得常數項為$\frac{1}{{a}^{3}}{C}_{6}^{3}$=540，解得a=$\frac{1}{3}$，
所以${∫}_{0}^{1}（{x}^{\frac{1}{3}}-{x}^{2}）dx$=（$\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{5}{12}$；
故選A．

點評 本題考查了二項式定理的應用以及利用定積分求曲邊梯形的面積；正確由展開式的通項求出a，利用定積分表示面積是解答的關鍵．