Question

6．已知f（x），g（x），都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），設(shè)a，b分別為連續(xù)兩次拋擲同一枚骰子所得點(diǎn)數(shù)，若f（x）-a^xg（x）=0，$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$，則關(guān)于x的方程abx²+8x+1=0有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{7}{18}$
• D． $\frac{13}{36}$

Answer 1

分析 先求出a的取值，結(jié)合關(guān)于x的方程abx²+8x+1=0有兩個(gè)不同實(shí)根，確定a，b 的可能情況，再結(jié)合基本事件總數(shù)，即可求出概率．

解答 解：∵f（x）-a^xg（x）=0，
∴f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），
∴a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$．
∵f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴（a^x）′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴函數(shù)y=a^x單調(diào)遞增，
∴a＞1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$≥$\frac{10}{3}$．
∴a+a^-1≥$\frac{10}{3}$，a＞1．
解得a≥3．
∴a=3，4，5，6，
∵關(guān)于x的方程abx²+8x+1=0有兩個(gè)不同實(shí)根，
∴△=64-4ab＞0，
∴ab＜16，
a=3時(shí)，b=1，2，3，4，5；a=4時(shí)，b=1，2，3；a=5時(shí)，b=1，2，3；a=6時(shí)，b=1，2；共13種情況
又a，b的取值有6×6=36種情況．
∴所求概率為$\frac{13}{36}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查概率知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．