Question

已知函數f（x）=ax³+（a-1）x²+（a-2）x+b的圖象關于原點對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-λx在（-1，0）上是增函數，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（1）根據函數f（x）的圖象關于原點對稱，求出b、a的值即可；
（2）求出g（x）的導數g′（x），令g′（x）在（-1，0）上大于0，求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ax³+（a-1）x²+（a-2）x+b的圖象關于原點對稱，
∴f（0）=0，∴b=0；
又∵f（-x）=-f（x），
∴a-1=0，解得a=1；
∴函數f（x）=x³-x；
（2）∵g（x）=f（x）-λx=x³-x-λx，
∴g′（x）=3x²-1-λ；
又∵g（x）在（-1，0）上是增函數時，
∴g（0）＞0，
即-1-λ＞0，
解得λ＜-1；
∴λ的取值范圍是{λ|λ＜-1}．

點評：本題考查了函數的性質與應用的問題，也考查了利用導數判斷函數的單調性問題，是中檔題．