Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，．

（1）求二面角的正弦值；

（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)公式得到兩個法向量之間的夾角余弦，再求出二面角的正弦值；（2）設(shè)，得到，，根據(jù)公式，表示出與之間的夾角余弦，即直線和平面所成角的正弦值，從而得到關(guān)于的方程，求出的值，得到線段的長.

（1）證明：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建系，

則，，，，，，，，

又因為分別為的中點(diǎn)，所以.

，，，

設(shè)是平面的法向量，

由，得，

取，得，

設(shè)是平面的法向量，

由，得，

取，得.

，

設(shè)二面角的平面角為，

所以，

所以二面角的正弦值為.

（2）由題意可設(shè)，其中，∴，，

又因為是平面的一個法向量，

所以，

設(shè)直線和平面所成角為，，

整理，得，

所以，

解得或（舍）.

所以線段的長為.