Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）參考解析；（2）

【解析】

試題（1）直線與平面垂直的證明，對于理科生來說主要是以建立空間直角坐標(biāo)系為主要方法，所以根據(jù)題意建立坐標(biāo)系后，寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)向量證明向量與平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量的數(shù)量積為零即可.

（2）證明直線與平面所成的角的正弦值，主要是通過求出平面的法向量與該直線的夾角的余弦值，再通過兩角的互余關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦值.

試題解析：（1）證明:因?yàn)?/span>是直三棱柱，

所以，

又，

即.

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,，

所以 ，，

.

又因?yàn)?，，

所以 ，，平面.

（2）解：由（1）知，是平面的法向量，

，

則 .

設(shè)直線與平面所成的角為， 則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.