Question

【題目】已知圓：，動點，線段與圓相交于點，線段的長度與點到軸的距離相等.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線交曲線于，兩點，交圓于，兩點，其中在線段上，在線段上，求的最小值及此時直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4，.

【解析】

（1）根據已知條件可知等于點到直線的距離，由拋物線定義可得軌跡方程；（2）由三點共線，可根據向量坐標運算得到；根據拋物線定義可求得，利用基本不等式求得最小值；再根據最值成立條件求得點坐標，從而可求得直線斜率.

（1）由題知：點到的距離等于到軸的距離加

等于到直線的距離

由拋物線的定義可知：

點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線

所以動點的軌跡的方程為：

（2）設，，，

三點共線 與共線

，整理得：

由拋物線的定義得：

由基本不等式：

當且僅當時等號成立，即，即成立

又 或

或

所以的最小值為，此時直線的斜率為