Question

17．某農場預算用5600元購買單價為50元（每噸）的鉀肥和20元（每噸）的氮肥，希望使兩種肥料的總數量（噸）盡可能的多，但氮肥數不少于鉀肥數，且不多于鉀肥數的1.5倍．
（Ⅰ）設買鉀肥x噸，買氮肥y噸，按題意列出約束條件、畫出可行域，并求鉀肥、氮肥各買多少才行？
（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐標原點，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域內，求$s=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|{\overrightarrow{OP}}|}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設肥料總數為z，z=x+y，列出約束條件，畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求解最值．
（Ⅱ）利用向量的數量積，化簡目標函數，通過可行域，判斷s的最值即可．另解轉化目標函數為直線的斜率，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設肥料總數為z，z=x+y，
由題意得約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≤y\\ y≤1.5x\\ 50x+20y≤5600\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x≤y\\ y≤\frac{3}{2}x\\ 5x+2y≤560\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$
畫出可行域（如圖）
目標函數：z=x+y，即y=-x+z，
表示斜率為-1，y軸上截距為z的平行直線系．
當直線過點N時，z最大．
聯立方程$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{2}x\\ 5x+2y=560\end{array}\right.$，解得N（70，105）
此時z_max=x+y=70+105=175．
∴購買鉀肥70噸，氮肥105噸時，兩種肥料的總數量最大為175噸
（Ⅱ）$s=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|{\overrightarrow{OP}}|}}=\frac{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OP}}|•cosθ}}{{|{\overrightarrow{OP}}|}}=|{\overrightarrow{OA}}|•cosθ$，$|{\overrightarrow{OA}}|=10$，θ為$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}$的夾角，∴s=10cosθ．有圖可知：
當點P在線段OM時，cosθ最大為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，此時s最大值為$5\sqrt{2}$；
當點P在線段ON時，cosθ最小為$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，此時s最小值為$\frac{{20\sqrt{13}}}{13}$．
∴$s∈[{\frac{{20\sqrt{13}}}{13}，5\sqrt{2}}]$
另解：$s=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|{\overrightarrow{OP}}|}}=\frac{10x}{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}=\frac{10}{{\sqrt{1+{{（{\frac{y}{x}}）}^2}}}}$，${k_{OP}}=\frac{y}{x}∈[{1，\frac{3}{2}}]$，
代入可得$s∈[{\frac{{20\sqrt{13}}}{13}，5\sqrt{2}}]$

點評 本題考查線性規劃的實際應用，考查數形結合以及轉化思想的應用．