Question

已知橢圓4x²＋3y²＝3，拋物線的開口向上，且其頂點在橢圓C的中心，焦點為橢圓的一個焦點F．點P為拋物線上的一點，PC垂直于直線l：，垂足為C，已知直線AB垂直PF分別交x、y軸于A、B．

(1)是否存在點P，使△PCF為等腰直角三角形，若存在求出點P，若不存在說明理由；

(2)是否存在點P，使P平分線段AB，若存在求出點P，若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由得，，所以，即． 　　則，即，故拋物線方程為，即． 　　由知，是拋物線的準線，故． 　　假設存在點P，使△PCF為等腰直角三角形，則，即，而．故與重合，即軸，這與直線AB不垂直x軸矛盾．因此，不存在點P，使△PCF為等腰直角三角形． 　　(Ⅱ)設，， 　　由知，，則． 　　令得，，即，， 　　令得，，即，　　10分 　　若P平分線段AB，則有且，解得，即． 　　故存在點，使P平分線段AB　　13分