Question

【題目】已知函數．

（1）曲線在點處的切線垂直于直線：，求的值；

（2）若函數有兩個不同的零點，求的范圍．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)或．

【解析】試題分析：（1）求得，根據在點處垂直于直線 ，得到

，即可求解實數的值；

（2）求得函數的導函數，可分、和三種情況討論，由函數有兩個不同的零點，列出不等式，即可求解的取值范圍．

試題解析：

（1），

因為在點處垂直于直線 ，

所以，，解得或．

（2）函數的定義域為，．

①當時， ，無零點；

②當時，，得．

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

∴．

因為，

且當時，，當→時，，，

∴若函數有兩個不同的零點，需，即，；

③當時，令，得．

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

∴．

當→和當→，均有，

若函數有兩個不同的零點，需時，即，．

綜上，函數有兩個不同的零點，的取值范圍是或．