Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為平行四邊形，，.

（1）求的長；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）之長為；（2）二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）如圖，過點(diǎn)作于垂足．可得平面．

過點(diǎn)在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，

可得，，，，

，即可所求之長．
（2）求出平面的法向量，，平面的法向量，

，即可得二面角的平面角的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)作于垂足．

∵平面平面，

∴平面．

過點(diǎn)在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，

∵，，，，

∴，

∴，，，，

，

∴.

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量，

而，

由及可得，

可取，

設(shè)平面的法向量，

，

由 得

可取，

∴，

∴二面角的余弦值為.