Question

【題目】

如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；

（2）以點坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為，，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.

證明（1）因為是長方體，所以側(cè)面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

（2）以點坐標(biāo)原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，

因為，所以，

所以，，

設(shè)是平面的法向量，

所以，

設(shè)是平面的法向量，

所以，

二面角的余弦值的絕對值為，

所以二面角的正弦值為.