Question

如圖,在四棱錐中,平面,,且,點(diǎn)在上.

（1）求證:；

（2）若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明直線和直線垂直，往往利用直線和平面垂直的性質(zhì)，先證明線面垂直，進(jìn)而證明直線和直線垂直．本題可先證明平面，因平面,所以,故只需證明，可放在中利用平面幾何的知識(shí)證明；（2）以以為原點(diǎn),分別以射線為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.分別表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過二面角的大小為，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的方向向量和面的法向量的夾角余弦，其絕對值即所求與平面所成角的正弦值．

（1）如圖,設(shè)為的中點(diǎn),連結(jié),

則,所以四邊形為平行四邊形,

故,又,

所以,故,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719320399446363/SYS201411171932228233434999_DA/SYS201411171932228233434999_DA.004.png">平面,所以,

且,所以平面,故有 5分

（2）如圖,以為原點(diǎn),分別以射線

為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

則,

設(shè),易得,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,

令得,即.

又平面的一個(gè)法向量為,

由題知,解得,

即,而是平面的一個(gè)法向量,

設(shè)平面與平面所成的角為,則.

故直線與平面所成的角的正弦值為. 12分

考點(diǎn)：1、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)；2、直線和平面所成的角；3、二面角的求法.