Question

【題目】已知正實數列a1，a2，…滿足對于每個正整數k，均有，證明：

（Ⅰ）a1+a2≥2；

（Ⅱ）對于每個正整數n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件可得，然后結合基本不等式可證；

（Ⅱ）利用數學歸納法進行證明.

證明：（Ⅰ）當k＝1時，有，即，，

∵，數列為正實數列，

由基本不等式1，∴，

∴a1+a2≥2．

（Ⅱ）用數學歸納法：

由（Ⅰ）得n＝2時，a1+a2≥2，不等式成立；

假設當n＝k（k≥2）時，a1+a2+…+ak≥k成立；

則當n＝k+1時，a1+a2+…+ak+ak+1≥k，

要證kk+1，即證1，

即為kak≥ak2+k﹣1，即為（ak﹣1）（k﹣1）≥0，

∵k≥2，∴k﹣1≥1，當ak﹣1≥0時，a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1，

∴對于每個正整數n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．

當0＜ak＜1時，

∵對于每個正整數k，均有，

∴，則，

a1+a2+…+an+an+1an+1n﹣1+2＝n+1．

綜上，對于每個正整數n≥2，均有a1+a2+…+an≥n．