Question

【題目】已知,且.

（1）求的值；

（2）證明: 存在唯一的極小值點,且.

(參考數據: )

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出定義域，設，等價于.

由，，得求出的導數，求出的值，利用導數驗證是的極大值點，從而驗證，符合題意；

（2）由（1）知，求導得.

設，利用二次求導，可以知道在上有唯一零點；又，所以在上有唯一零點.可以判斷出是的唯一極小值點.由，得，

故， 由（1）知.

令，，則，可以求出，結論得證.

解：（1）的定義域為.

設，則，等價于.

因為，，所以

而，，得.

若，則，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以是的極大值點，故.

綜上，.

（2）由（1）知，.

設，則，，令，得.當時，，單增；當時，，單減；

又因為，，，所以在上有唯一零點；又，所以在上有唯一零點.

于是當時，，時，，時，.因為，所以是的唯一極小值點.

由，得，

故，

由（1）知.

令，，則，當時，，所以在上單調遞減，.

所以，結論得證.