Question

16．已知函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最小值為-2，圖象過（$\frac{5π}{9}$，0），求該函數的解析式并求其單調區間．

Answer 1

分析 根據已知，求出函數的各個參數值，進而可得函數的解析式，結合正弦函數的圖象和性質，可得函數的單調區間．

解答 解：∵函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，最小值為-2，
∴ω=3，A=2，
∴函數y=2sin（3x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象過（$\frac{5π}{9}$，0），
∴sin（$\frac{5π}{3}$+φ）=0，φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
故y=2sin（3x+$\frac{π}{3}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤3x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
故函數的單調遞增區間為：[-$\frac{5π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z
單調遞減區間為：[$\frac{π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$，$\frac{7π}{18}$+$\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z

點評 本題考查的知識點是三角函數的圖象和性質，根據已知，求出函數的解析式，是解答的關鍵．