Question

【題目】已知函數，且在和處取得極值．

（1）求函數的解析式；

（2）設函數，是否存在實數，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】試題分析：（1）由f（x）=ax3+bx2-2x在x=1或2處取得極值，可得f'（1）=f'（2）=0，故可得到a、b的方程組，求解即可；

（2）曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，轉化成g（x）=0有兩個不同的實數解，然后利用導數研究函數的單調性和極值，然后依題意有g（x）極大值=0或g（x）極小值=0即可求出t的值．

試題解析：（1），

因為在和處取得極值，

所以和是的兩個根，

則，解得，

經檢驗符合已知條件，故；

（2）由題意知，

令得， 或，

隨著變化情況如下表所示：

		1		2
	-	0	+	0	-
	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由上表可知，

又取足夠大的正數時， ，

取足夠小的負數時， ，

因此，為使曲線與軸有兩個交點，結合的單調性，

得或，

∴或，

即存在，且或時，曲線與軸有兩個交點．